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第1章 基础：逻辑和证明1

1.1命题逻辑1

1.1.1引言1

1.1.2命题1

1.1.3条件语句3

1.1.4复合命题的真值表6

1.1.5逻辑运算符的优先级7

1.1.6翻译语句7

1.1.7系统规范说明8

1.1.8布尔检索8

1.1.9逻辑难题9

1.1.10逻辑运算和位运算9

练习10

1.2命题等价13

1.2.1引言13

1.2.2逻辑等价14

1.2.3德摩根律的运用16

1.2.4构建新的逻辑等价式16

练习18

1.3谓词和量词20

1.3.1引言20

1.3.2谓词20

1.3.3量词21

1.3.4其他量词24

1.3.5约束论域量词24

1.3.6量词的优先级24

1.3.7绑定变量24

1.3.8涉及量词的逻辑等价24

1.3.9否定量化表达式25

1.3.10翻译语句为逻辑表达式26

1.3.11在系统说明中运用量词28

1.3.12选自Lewis Carroll的例子28

1.3.13逻辑程序设计29

练习30

1.4嵌套量词32

1.4.1引言32

1.4.2量词的顺序33

1.4.3将数学语句翻译成涉及嵌套量词的语句34

1.4.4将嵌套量词翻译为汉语35

1.4.5将汉语语句翻译成逻辑表达式35

1.4.6否定嵌套量词36

练习36

1.5推理规则39

1.5.1引言39

1.5.2命题逻辑的有效论证39

1.5.3命题逻辑的推理规则40

1.5.4用推理规则建立论证42

1.5.5消解43

1.5.6谬误43

1.5.7带量词命题的推理规则44

1.5.8命题推理和量化语句推理规则的结合45

练习45

1.6证明导论47

1.6.1引言47

1.6.2一些专用术语47

1.6.3定理陈述的理解47

1.6.4证明定理的方法48

1.6.5直接证明48

1.6.6反证法49

1.6.7归谬证明50

1.6.8证明中的错误52

1.6.9仅仅是开始53

练习53

1.7证明的方法和策略54

1.7.1引言54

1.7.2穷举证明和分情形证明54

1.7.3存在性证明57

1.7.4唯一性证明58

1.7.5证明策略58

1.7.6寻找反例60

1.7.7行动证明策略60

1.7.8填充60

1.7.9未解决问题的作用63

1.7.10其他证明方法63

练习64

关键术语和结果65

复习题66

补充练习67

计算机题目68

计算和研究69

写作题目69

第2章 基本结构：集合、函数、数列与求和70

2.1集合70

2.1.1引言70

2.1.2幂集合72

2.1.3笛卡儿积73

2.1.4使用带量词的集合符号74

2.1.5量词的真值集合74

练习74

2.2集合运算75

2.2.1引言75

2.2.2集合恒等式77

2.2.3扩展的并集和交集79

2.2.4计算机表示集合的方式80

练习81

2.3函数83

2.3.1引言83

2.3.2一对一函数和映上函数85

2.3.3反函数和函数组合86

2.3.4函数的图像88

2.3.5几个重要的函数89

练习91

2.4序列与求和93

2.4.1引言93

2.4.2序列93

2.4.3特殊的整数序列94

2.4.4求和96

2.4.5基数98

练习100

关键术语和结果101

复习题103

补充练习103

计算机题目105

计算和研究105

写作题目105

第3章 计数106

3.1计数基础106

3.1.1引言106

3.1.2基本的计数原则106

3.1.3比较复杂的计数问题109

3.1.4容斥原理110

3.1.5树图111

练习112

3.2鸽巢原理114

3.2.1引言114

3.2.2广义鸽巢原理115

3.2.3巧妙使用鸽巢原理116

练习117

3.3排列与组合118

3.3.1引言118

3.3.2排列118

3.3.3组合120

练习122

3.4二项式系数123

3.4.1二项式定理123

3.4.2帕斯卡恒等式和三角形125

3.4.3其他的二项式系数恒等式126

练习127

3.5排列与组合的推广129

3.5.1引言129

3.5.2有重复的排列129

3.5.3有重复的组合129

3.5.4具有不可区别物体的集合的排列132

3.5.5把物体放入盒子132

练习135

3.6生成排列和组合136

3.6.1引言136

3.6.2生成排列137

3.6.3生成组合138

练习139

关键术语和结果139

复习题140

补充练习141

计算机题目144

计算和研究144

写作题目144

第4章 高级计数技术145

4.1递推关系基础145

4.1.1引言145

4.1.2递推关系145

4.1.3用递推关系构造模型146

练习150

4.2求解线性递推关系152

4.2.1引言152

4.2.2求解常系数线性齐次递推关系153

4.2.3常系数线性非齐次的递推关系156

练习159

4.3分治算法和递推关系160

4.3.1引言160

4.3.2分治递推关系160

练习165

4.4生成函数166

4.4.1引言166

4.4.2关于幂级数的有用事实167

4.4.3计数问题与生成函数170

4.4.4使用生成函数求解递推关系172

4.4.5使用生成函数证明恒等式174

练习174

4.5容斥176

4.5.1引言176

4.5.2容斥原理176

练习179

4.6容斥原理的应用180

4.6.1引言180

4.6.2容斥原理的另一种形式180

4.6.3埃拉托色尼筛181

4.6.4映上函数的个数182

4.6.5错位排列183

练习184

关键术语和结果185

复习题186

补充练习186

计算机题目188

计算和研究189

写作题目189

第5章 关系190

5.1关系及其性质190

5.1.1引言190

5.1.2函数作为关系191

5.1.3集合的关系191

5.1.4关系的性质192

5.1.5关系的组合194

练习195

5.2 n元关系及其应用197

5.2.1引言197

5.2.2 n元关系197

5.2.3数据库和关系197

5.2.4 n元关系的运算199

5.2.5 SQL200

练习201

5.3关系的表示202

5.3.1引言202

5.3.2用矩阵表示关系202

5.3.3用图表示关系204

练习206

5.4关系的闭包207

5.4.1引言207

5.4.2闭包207

5.4.3有向图的路径208

5.4.4传递闭包209

5.4.5沃舍尔算法211

练习213

5.5等价关系基础214

5.5.1引言214

5.5.2等价关系214

5.5.3等价类216

5.5.4等价类与划分217

练习219

5.6偏序221

5.6.1引言221

5.6.2字典顺序222

5.6.3哈塞图224

5.6.4极大元素与极小元素225

5.6.5格226

5.6.6拓扑排序227

练习229

关键术语和结果231

复习题233

补充练习234

计算机题目236

计算和研究237

写作题目237

第6章图238

6.1图和图模型238

练习243

6.2图的术语和几种特殊的图244

6.2.1引言244

6.2.2基本术语244

6.2.3一些特殊的简单图246

6.2.4偶图247

6.2.5特殊类型的图的一些应用249

6.2.6从旧图到新图251

练习252

6.3图的表示和图的同构253

6.3.1引言253

6.3.2图的表示253

6.3.3邻接矩阵254

6.3.4关联矩阵256

6.3.5图的同构256

练习259

6.4连通性261

6.4.1引言261

6.4.2通路261

6.4.3无向图的连通性263

6.4.4有向图的连通性264

6.4.5通路与同构265

6.4.6计算顶点之间的通路数265

练习266

6.5欧拉通路与哈密顿通路268

6.5.1引言268

6.5.2欧拉通路与欧拉回路268

6.5.3哈密顿通路与哈密顿回路272

练习274

6.6最短通路问题276

6.6.1引言276

6.6.2最短通路算法278

6.6.3旅行商问题281

练习283

6.7可平面图284

6.7.1引言284

6.7.2欧拉公式286

6.7.3库拉图斯基定理288

练习289

6.8图着色291

6.8.1引言291

6.8.2图着色的应用294

练习295

关键术语和结果297

复习题298

补充练习299

计算机题目303

计算和研究303

写作题目304

第7章树305

7.1概述305

7.1.1树作为模型309

7.1.2树的性质310

练习312

7.2树的应用313

7.2.1引言313

7.2.2二叉搜索树313

7.2.3决策树316

7.2.4前缀码317

7.2.5博弈树320

练习323

7.3树的遍历324

7.3.1引言324

7.3.2通用地址系统325

7.3.3遍历算法325

7.3.4中缀、前缀和后缀记法331

练习333

7.4生成树334

7.4.1引言334

7.4.2深度优先搜索337

7.4.3宽度优先搜索338

7.4.4回溯340

7.4.5有向图中的深度优先搜索341

练习342

7.5最小生成树344

7.5.1引言344

7.5.2最小生成树算法344

练习347

关键术语和结果348

复习题349

补充练习350

计算机题目353

计算和研究353

写作题目353