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译者序1

前言1

第1章 热传导方程1

1.1 引言1

1.2 一维杆中热传导方程的推导1

1.3 边界条件7

1.4 平衡温度分布9

1.4.1 给定温度9

1.4.2 绝热边界10

1.5 二维或三维热传导方程的推导13

第2章 分离变量法22

2.1 引言22

2.2 线性性质22

2.3 在有限端处具有零温度的热传导方程24

2.3.1 概述24

2.3.2 分离变量25

2.3.3 不定常方程26

2.3.4 边值问题27

2.3.5 乘积解和叠加原理30

2.3.6 正弦函数的正交性32

2.3.7 实例34

2.3.8 小结36

2.4 有关热传导方程的例子：其他边值问题39

2.4.1 绝热端杆中的热传导39

2.4.2 细圆环中的热传导43

2.4.3 边值问题小结46

2.5.1 矩形区域内的拉普拉斯方程48

2.5 拉普拉斯方程：求解和定性性质48

2.5.2 圆盘内的拉普拉斯方程51

2.5.3 绕过圆柱体的流体流动（升力）54

2.5.4 拉普拉斯方程的定性性质56

第3章 傅里叶级数61

3.1 引言61

3.2 收敛定理62

3.3 傅里叶余弦级数和傅里叶正弦级数65

3.3.1 傅里叶正弦级数65

3.3.2 傅里叶余弦级数73

3.3.3 用正弦级数和余弦级数表示f（x）75

3.3.4 偶部和奇部76

3.3.5 连续傅里叶级数77

3.4 傅里叶级数的逐项微分80

3.5 傅里叶级数的逐项积分88

3.6 傅里叶级数的复形式91

4.1 引言93

4.2 弦振动方程的建立93

第4章 波动方程：振动弦与振动膜93

4.3 边界条件95

4.4 端点固定的振动弦97

4.5 振动膜102

4.6 电磁波与声波的反射与折射104

4.6.1 斯涅耳折射定律105

4.6.2 反射波与折射波的强度（振幅）106

4.6.3 内部全反射107

5.2.1 非均匀杆内的热流108

5.2 例子108

5.1 引言108

第5章 施图姆-刘维尔特征值问题108

5.2.2 圆对称热流109

5.3 施图姆-刘维尔特征值问题111

5.3.1 一般分类111

5.3.2 正则施图姆-刘维尔特征值问题111

5.3.3 定理的举例和说明113

5.4 例子：非均匀杆中的无热源热流117

5.5 自伴算子和施图姆-刘维尔特征值问题120

5.6 瑞利商131

5.7 例子：非均匀弦的振动135

5.8 第三类边界条件137

5.9 大特征值（渐近行为）147

5.10 逼近性质150

第6章 偏微分方程的有限差分数值法154

6.1 引言154

6.2 有限差分与截断泰勒级数154

6.3.1 概述158

6.3 热传导方程158

6.3.2 偏差分方程159

6.3.3 计算160

6.3.4 傅里叶-冯·诺伊曼稳定性分析162

6.3.5 偏差分方程的分离变量和常差分方程的解析解166

6.3.6 矩阵记号169

6.3.7 非齐次问题171

6.3.8 其他数值格式172

6.3.9 其他类型的边界条件173

6.4 二维热传导方程175

6.5 波动方程176

6.6 拉普拉斯方程179

6.7 有限元法184

6.7.1 非正交函数逼近184

6.7.2 最简三角形有限元186

7.2 时间变量的分离190

7.2.1 振动膜：任意形状190

7.1 引言190

第7章 高维偏微分方程190

7.2.2 热传导：任意区域192

7.2.3 小结192

7.3 振动矩形膜193

7.4 特征值问题？2φ＋λφ＝0的定理叙述和说明199

7.5 格林公式、自伴算子和多维特征值问题203

7.6 瑞利商和拉普拉斯方程207

7.6.1 瑞利商207

7.6.2 依赖时间的热传导方程与拉普拉斯方程208

7.7 振动圆形膜和贝塞尔函数209

7.7.1 概述209

7.7.2 分离变量210

7.7.3 特征值问题（一维情形）211

7.7.4 贝塞尔微分方程211

7.7.5 奇异点和贝塞尔微分方程212

7.7.6 贝塞尔函数及其渐近性质（在z=0附近）213

7.7.7 涉及贝塞尔函数的特征值问题214

7.7.8 振动圆形膜的初值问题215

7.7.9 圆对称情形216

7.8 贝塞尔函数的进一步讨论220

7.8.1 贝塞尔函数的定性性质220

7.8.2 特征值的渐近公式221

7.8.3 贝塞尔函数的零点和结点曲线222

7.8.4 贝塞尔函数的级数表示223

7.9 圆柱体上的拉普拉斯方程226

7.9.1 概述226

7.9.2 分离变量227

7.9.3 侧面及顶部或底部为零温度的情形228

7.9.4 顶部和底部为零温度的情形229

7.9.5 修正贝塞尔函数231

7.10 球内的问题和勒让德多项式233

7.10.1 概述233

7.10.2 分离变量和一维特征值问题234

7.10.3 连带勒让德函数和勒让德多项式235

7.10.4 径向特征值问题237

7.10.5 乘积解、振动模式和初值问题237

7.10.6 球内部的拉普拉斯方程238

第8章 非齐次问题241

8.1 引言241

8.2 有源热流与非齐次边界条件241

8.3 带齐次边界条件的特征函数展开法（微分特征函数的级数）245

8.4 利用格林公式的特征函数展开法（带或不带齐次边界条件）249

8.5 受迫振动膜与共振253

8.6 泊松方程259

9.2 一维热传导方程264

9.1 引言264

第9章 定常问题的格林函数264

9.3 常微分方程边值问题的格林函数267

9.3.1 一维稳态热传导方程267

9.3.2 参数变易法268

9.3.3 格林函数的特征函数展开法270

9.3.4 狄拉克δ函数及其与格林函数的关系271

9.3.5 非齐次边界条件276

9.3.6 小结277

9.4.1 概述281

9.4 弗雷德霍姆择一性与广义格林函数281

9.4.2 弗雷德霍姆择一性282

9.4.3 广义格林函数284

9.5 泊松方程的格林函数289

9.5.1 概述289

9.5.2 多维狄拉克δ函数与格林函数289

9.5.3 用特征函数展开法表示格林函数与弗雷德霍姆择一性291

9.5.4 格林函数的直接解法（一维特征函数）292

9.5.5 用格林函数解带非齐次边界条件的问题293

9.5.6 无穷空间格林函数294

9.5.7 用无穷空间格林函数得到有界区域的格林函数296

9.5.8 用无穷空间格林函数求半无穷平面（y＞0）的格林函数：像源法297

9.5.9 圆的格林函数：像源法298

9.6 扰动特征值问题303

9.6.1 概述303

9.6.2 数学例子303

9.6.3 拟圆膜振动304

9.7 小结307

第10章 无穷域问题：偏微分方程的傅里叶变换解法308

10.1 引言308

10.2 无穷域上的热传导方程308

10.3 傅里叶变换对310

10.3.1 傅里叶级数恒等式的启示310

10.3.2 傅里叶变换311

10.3.3 高斯函数的傅里叶逆变换312

10.4.1 热传导方程317

10.4 傅里叶变换与热传导方程317

10.4.2 傅里叶变换热传导方程：导数的变换320

10.4.3 卷积定理322

10.4.4 傅里叶变换性质小结324

10.5 傅里叶正弦和余弦变换：半无穷区间上的热传导方程326

10.5.1 概述326

10.5.2 半无穷区间上的热传导方程Ⅰ326

10.5.3 傅里叶正弦和余弦变换327

10.5.4 导数的变换328

10.5.5 半无穷区间上的热传导方程Ⅱ329

10.5.6 傅里叶正弦和余弦变换表331

10.6 应用变换求解的例子334

10.6.1 无穷区间上的一维波动方程334

10.6.2 半无穷带上的拉普拉斯方程335

10.6.3 半平面上的拉普拉斯方程337

10.6.4 四分之一平面上的拉普拉斯方程340

10.6.5 平面上的热传导方程（二维傅里叶变换）342

10.6.6 二重傅里叶变换表346

10.7 散射和逆散射349

第11章 波动方程和热传导方程的格林函数352

11.1 引言352

11.2 波动方程的格林函数352

11.2.1 概述352

11.2.2 格林公式353

11.2.3 互反性354

11.2.4 使用格林函数355

11.2.5 波动方程的格林函数356

11.2.7 一维波动方程的无穷空间格林函数和达朗贝尔解357

11.2.6 格林函数的另一个微分方程357

11.2.8 三维波动方程的无穷空间格林函数（惠更斯原理）359

11.2.9 二维无穷空间格林函数360

11.2.10 小结360

11.3 热传导方程的格林函数362

11.3.1 概述362

11.3.2 热传导方程的非自伴特性363

11.3.3 格林公式364

11.3.5 互反性365

11.3.4 伴随格林函数365

11.3.6 用格林函数表示解366

11.3.7 格林函数的另一个微分方程367

11.3.8 扩散方程的无穷空间格林函数367

11.3.9 热传导方程的格林函数（在半无穷域上）368

11.3.10 热传导方程的格林函数（在有限区域上）369

第12章 线性和拟线性波动方程的特征线法372

12.1 引言372

12.2 一阶波动方程的特征线372

12.2.1 概述372

12.2.2 一阶偏微分方程的特征线法373

12.3 一维波动方程的特征线法376

12.3.1 通解376

12.3.2 初值问题（无穷区域）378

12.3.3 达朗贝尔解381

12.4 半无界弦和反射382

12.5 定长振动弦的特征线法386

12.6 拟线性偏微分方程的特征线法388

12.6.1 特征线法388

12.6.2 交通流量389

12.6.3 特征线法（Q=0）390

12.6.4 冲击波393

12.6.5 拟线性举例401

12.7 一阶非线性偏微分方程404

12.7.1 由波动方程推导出的短时距方程404

12.7.2 求解均匀介质中的短时距方程和反射波405

12.7.3 一阶非线性偏微分方程407

13.2.1 概述409

13.2 拉普拉斯变换的性质409

13.1 引言409

第13章 偏微分方程的拉普拉斯变换解法409

13.2.2 拉普拉斯变换的奇点410

13.2.3 导数的变换413

13.2.4 卷积定理413

13.3 常微分方程初值问题的格林函数416

13.4 波动方程的信号问题418

13.5 有限长度振动弦的信号问题420

13.6 波动方程及其格林函数422

13.7 用复平面上的围线积分计算拉普拉斯逆变换424

13.8 利用拉普拉斯变换求解波动方程（复变量）428

第14章 色散波：缓变、稳定性、非线性性和扰动法430

14.1 引言430

14.2 色散波和群速度430

14.2.1 行波和色散关系430

14.2.2 群速度Ⅰ432

14.3 波导434

14.3.1 对ωf频率集中周期性源的响应435

14.3.2 模式传播的格林函数436

14.3.3 模式不传播的格林函数437

14.3.4 设计思路437

14.4 光纤438

14.5 群速度Ⅱ和稳定相位法441

14.5.1 稳定相位法441

14.5.2 对线性色散波的应用443

14.6 缓变色散波（群速度和焦散曲线）445

14.6.1 色散偏微分方程的近似解445

14.6.2 焦散曲线的形成446

14.7 波包络方程（集中波数）450

14.7.1 薛定谔方程451

14.7.2 线性化KdV方程452

14.7.3 非线性色散波：KdV方程454

14.7.4 孤立子与逆散射455

14.7.5 非线性薛定谔方程457

14.8 稳定性和不稳定性460

14.8.1 常微分方程和分歧理论简介460

14.8.2 偏微分方程稳定平衡解的基本例子464

14.8.3 偏微分方程的典型不稳定平衡点和模式形成465

14.8.4 不适定问题467

14.8.5 微不稳定色散波和线性化复金茨堡-朗道方程467

14.8.6 非线性复金茨堡-朗道方程469

14.8.7 长波的不稳定性473

14.8.8 反应扩散方程的模式形成和图灵不稳定性473

14.9 奇异扰动法：多尺度478

14.9.1 常微分方程：弱非线性阻尼振子478

14.9.2 常微分方程：缓变振子480

14.9.3 固定空间域上的微不稳定偏微分方程483

14.9.4 关于波动方程的缓变介质484

14.9.5 缓变线性色散波（包括弱非线性作用）486

14.10 奇异扰动法：匹配渐近展开的边界层法490

14.10.1 常微分方程中的边界层490

14.10.2 由对流支配的污染物扩散493

参考文献498

带*号习题的答案503

索引520