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第1章 绪论1

1.1线性代数计算方法的重要性1

1.1.1用计算机解决实际问题1

1.1.2研究线性代数计算方法的重要性2

1.1.3线性代数计算方法的基本内容4

1.2误差5

1.2.1误差基本知识5

1.2.2误差来源8

1.3.1数字式计算机中数的表示10

1.3浮点运算和舍入误差10

1.3.2计算机的浮点数系12

1.3.3实数的计算机浮点数近似13

1.3.4计算机浮点数的算术运算14

1.3.5简单算术表达式的舍入误差15

1.3.6常用误差分析方法19

1.4问题的条件和算法的数值稳定性22

1.4.1问题的条件22

1.4.2算法的数值稳定性25

1.5.1向量范数27

1.5向量范数和矩阵范数27

1.5.2矩阵范数29

1.5.3矩阵的谱半径32

1.5.4向量序列和矩阵序列及其收敛性34

1.6Givens变换和Householder变换36

1.6.1Givens变换36

1.6.2镜像变换和Householder变换40

习题43

第2章 解线性代数方程组的直接法47

2.1.1三角形方程组及其解法48

2.1Gauss消元法48

2.1.2顺序消元法51

2.1.3主元素消元法58

2.2矩阵的三角分解64

2.2.1矩阵三角分解的意义和形式64

2.2.2矩阵的Crout分解68

2.2.3矩阵的Doolittle分解70

2.3带状对角形方程组的解法72

2.3.1带状对角矩阵72

2.3.2带状对角形方程组的Gauss消元法73

2.3.3解三对角线方程组的追赶法75

2.4正定矩阵的Cholesky分解78

2.4.1正定矩阵和LDLT分解78

2.4.2正定矩阵的LLT分解79

2.4.3正定矩阵改进的LDLT分解82

2.5Gauss-Jordan消元法和矩阵求逆83

2.5.1Gauss-Jordan列主元素消元法83

2.5.2Gauss-Jordan列主元素消元法解方程组集86

2.5.3Gauss-Jordan列主元素消元法求矩阵的逆87

2.6.1用Gauss消元法89

2.6行列式计算89

2.6.2用矩阵的三角分解90

2.7计算解的精确度问题91

2.7.1方程组右端项误差对解的影响92

2.7.2系数矩阵误差对解的影响93

2.7.3计算解误差的常用估计方法96

2.7.4解的迭代改善98

2.8Gauss列主元素消元法舍入误差分析100

2.8.1消元过程的舍入误差102

2.8.2解三角形方程组的舍入误差105

2.8.3Gauss列主元素消元法的舍入误差108

2.9线性最小二乘法109

2.9.1数据拟合问题109

2.9.2超定方程组和法方程组111

2.9.3多项式拟合113

2.9.4Gram-Schmidt方法116

2.9.5Householder方法119

2.9.6极小最小二乘解124

习题126

3.1迭代法的一般理论133

第3章 解线性代数方程组的迭代法133

3.1.1一般迭代格式的构造134

3.1.2迭代的收敛问题136

3.1.3迭代的可对称化和块迭代140

3.2Jacobi迭代法143

3.2.1迭代格式143

3.2.2迭代的收敛问题146

3.2.3块Jacobi迭代（BJ）150

3.3.1迭代格式152

3.3Gauss-Seidel迭代法152

3.3.2迭代的收敛问题155

3.3.3块Gauss-Seidel迭代155

3.4松弛迭代法157

3.4.1SOR迭代格式157

3.4.2迭代的收敛问题159

3.4.3块松弛迭代（BSOR）160

3.4.4对称松弛迭代（SSOR）162

3.5.1相容次序和性质A164

3.5最优松弛因子164

3.5.2最优松弛因子选择171

3.6Chebyshev加速迭代法179

3.6.1多项式加速迭代法179

3.6.2Chebyshev加速迭代法180

3.7共轭梯度法189

3.7.1线性方程组和二次函数的极小值问题189

3.7.2最速下降法190

3.7.3共轭方向法192

3.7.4共轭梯度法195

习题198

第4章 非对称矩阵特征值问题202

4.1矩阵特征值的基本性质203

4.1.1圆盘定理203

4.1.2圆盘定理的应用209

4.1.3矩阵特征值问题的条件212

4.2幂法221

4.2.1基本算法221

4.2.2幂法具体分析222

4.2.3幂法中的原点位移加速227

4.3反幂法229

4.3.1基本算法229

4.3.2带原点位移的反幂法231

4.3.3Rayleigh商迭代法（RQI）232

4.4矩阵收缩238

4.4.1收缩算法238

4.4.2计算步骤240

4.5QR方法243

4.5.1QR方法及其收敛性244

4.5.2Hessenberg矩阵的QR算法248

4.5.3带原点位移的QR算法256

4.5.4实矩阵双重步QR算法260

4.6广义特征值问题的QZ算法268

4.6.1广义特征值问题268

4.6.2广义Schur分解270

4.6.3带原点位移的QZ算法271

4.6.4双重步QZ算法281

习题286

5.1.1谱分解和极值定理290

第5章 实对称矩阵特征值问题290

5.1基本性质290

5.1.2特征值的估计和摄动292

5.2幂法和子空间迭代法295

5.2.1幂法和反幂法295

5.2.2子空间迭代法299

5.3对称QR方法305

5.3.1对称三对角化的Householder算法305

5.3.2对称三对角线矩阵的QR算法308

5.3.3隐位移QR算法311

5.4.1实对称矩阵的旋转相似变换317

5.4实对称矩阵的Jacobi方法317

5.4.2Jacobi方法319

5.4.3Jacobi方法的收敛性322

5.5实对称矩阵的Givens-Householder方法324

5.5.1对称三对角化的Givens算法324

5.5.2计算特征值的二分法329

5.5.3特征向量的计算335

5.5.4次对角元素有零情况的处理336

5.6.1矩阵奇异值及其分解定理338

5.6奇异值分解算法338

5.6.2双对角线矩阵的隐位移QR算法342

5.7对称广义特征值问题355

5.7.1化为标准对称特征值问题355

5.7.2广义Givens-Householder方法356

5.7.3方法的具体实现360

习题363

习题答案与提示368

参考文献400