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1 微商1

1.1 微积分研究什么1

1.1.1 微积分与初等数学研究对象的比较1

1.1.2 微积分研究的两类典型问题2

1.2 预备知识3

1.2.1 逻辑符号3

1.2.2 邻域3

1.2.3 不等式3

1.2.4 数列极限4

习题1-212

1.3.1 函数概念13

1.3 函数13

1.3.2 函数的运算15

1.3.3 函数的改变量与差商16

1.3.4 复合运算·复合函数17

1.3.5 函数的几种特性19

1.3.6 函数模型21

习题1-325

1.4 函数的极限28

1.4.1 x→x0时函数f(x)的极限28

1.4.2 函数极限的运算与性质33

1.4.3 第一个重要极限35

习题1-436

1.5 函数的连续性38

1.5.2 连续与间断的定义39

1.5.1 连续与间断的直观描述39

1.5.3 初等函数的连续性44

1.5.4 闭区间上连续函数的性质46

习题1-547

1.6 函数在无穷远处的极限49

1.6.1 x→∞时函数f(x)的极限49

1.6.2 第二个重要极限53

习题1-656

1.7 无穷小量及其比较57

1.7.1 无穷小量57

1.7.2 无穷小量的比较59

习题1-761

1.8.1 微积分的典型问题之一——切线问题62

1.8 微商62

1.8.2 微商概念64

1.8.3 可微性与连续性70

1.8.4 数学怪物——科赫(Koch H V)雪花曲线·分形几何学简介72

习题1-874

第1章的重要概念与公式75

总练习题176

2 微分法79

2.1 微商的运算法则79

2.1.1 基本微商公式79

2.1.2 函数和、差、积、商的微商法则79

2.1.3 反函数微商法则83

2.1.4 复合函数微商法则84

2.1.5 隐微分法86

习题2-188

2.2 高阶微商91

2.2.1 高阶微商91

2.2.2 关于函数乘积微商的莱布尼茨(Leibniz)公式94

习题2-294

2.3 微分及其应用96

2.3.1 微分及其运算96

2.3.2 微分的应用100

习题2-3108

第2章的重要概念与公式109

总练习题2110

3 微商的应用113

3.1 微分中值定理113

3.1.1 函数的极值与费马(Fermat)引理113

3.1.2 微分中值定理114

3.1.3 微分中值定理的证明118

习题3-1119

3.2 用微商研究函数120

3.2.1 函数单调性的判别法120

3.2.2 函数极值的检验法123

3.2.3 曲线的凸性与拐点126

3.2.4 函数作图129

习题3-2132

3.3 最优化问题134

3.3.1 最大值、最小值134

3.3.2 最优化问题135

习题3-3139

3.4.1 边际与边际分析141

3.4 相对变化率与相关变化率141

3.4.2 弹性与弹性分析144

3.4.3 相关变化率147

习题3-4149

3.5 洛必达(L'Hospital)法则150

3.5.1 洛必达法则151

3.5.2 洛必达法则的证明154

3.5.3 其他类型不定式的极限155

习题3-5157

第3章的重要概念与公式158

总练习题3159

4.1 定积分163

4.1.1 微积分的典型问题之二——面积问题163

4 积分及其应用163

4.1.2 定积分概念164

4.1.3 可积的充分条件166

习题4-1166

4.2 定积分与原函数的关系167

4.2.1 直观背景167

4.2.2 原函数与不定积分169

4.2.3 微积分基本定理172

习题4-2175

4.3 定积分的性质177

习题4-3181

4.4 积分法182

4.4.1 直接积分法182

4.4.2 换元积分法184

4.4.3 分部积分法198

4.4.4 积分表的使用202

4.4.5 数值积分法203

习题4-4207

4.5 定积分的应用210

4.5.1 反常积分210

4.5.2 面积、体积、弧长的计算214

4.5.3 定积分在经济管理与社会科学中的应用222

习题4-5226

第4章的重要概念与公式227

总练习题4228

5.1.1 实际背景234

5.1 微分方程基础234

5 微分方程与差分方程234

5.1.2 基本概念237

习题5-1239

5.2 一阶微分方程239

5.2.1 可分离变量的微分方程239

5.2.2 齐次(微分)方程241

5.2.3 一阶线性微分方程243

5.2.4 微分方程的应用(连续模型)247

习题5-2251

5.3 二阶微分方程252

5.3.1 可降阶的二阶微分方程252

5.3.2 二阶常系数线性微分方程254

5.3.3 微分方程组260

习题5-3264

5.4 差分方程265

5.4.1 差分方程基础265

5.4.2 一阶常系数线性差分方程269

5.4.3 二阶常系数线性差分方程271

5.4.4 差分方程的应用(离散模型)273

习题5-4280

第5章的重要概念与公式281

总练习题5283

6 多元函数微分学286

6.1 曲面与空间曲线286

6.1.1 空间直角坐标系286

6.1.2 曲面289

6.1.3 空间曲线292

习题6-1294

6.2 多元函数294

6.2.1 多元函数概念294

6.2.2 等高线·等产量线296

6.2.3 二元函数的极限与连续297

习题6-2298

6.3 偏微商299

6.3.1 偏微商与全微分299

6.3.2 偏微商的应用301

6.3.3 高阶偏微商304

习题6-3305

6.4 多元复合函数微分法306

6.4.1 多元复合函数微分法306

6.4.2 隐微分法311

习题6-4313

6.5 最优化问题314

6.5.1 二元函数的极值315

6.5.2 无约束最优化问题316

6.5.3 约束最优化问题318

6.5.4 最小二乘法与数学建模322

6.5.5 线性规划328

习题6-5330

第6章的重要概念与公式332

总练习题6333

7.1 二重积分概念335

7.1.1 实际背景335

7 二重积分335

7.1.2 二重积分定义336

7.1.3 二重积分的性质337

习题7-1339

7.2 二重积分的计算339

7.2.1 在直角坐标下计算二重积分340

7.2.2 在极坐标下计算二重积分344

习题7-2347

7.3 二重积分的应用349

7.3.1 用二重积分计算概率积分？dx349

7.3.2 用二重积分计算体积与面积350

7.3.3 二重积分在社会科学中的应用353

习题7-3355

总练习题7356

第7章的重要概念与公式356

8 无穷级数359

8.1 数项级数359

8.1.1 基本概念359

8.1.2 基本性质·级数收敛的必要条件364

8.1.3 正项级数的收敛检验法365

8.1.4 交错级数·莱布尼茨检验法370

8.1.5 绝对收敛·条件收敛372

习题8-1373

8.2 幂级数375

8.2.1 幂级数概念与性质375

8.2.2 幂级数的收敛半径377

8.2.3 幂级数的运算379

习题8-2382

8.3 泰勒(Taylor)级数383

8.3.1 问题的提出383

8.3.2 泰勒公式386

8.3.3 函数的泰勒展开式388

8.3.4 泰勒级数的应用391

习题8-3394

第8章的重要概念与公式396

总练习题8397

附录1 常用几何曲线400

附录2 积分表403

附录3 习题答案411

附录4 名词术语索引437

参考文献442