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第8章 多元函数微分学1

8.1 多元函数的极限与连续1

8.1.1 多元函数的概念1

8.1.2 平面点集的一些概念4

8.1.3 多元函数的极限5

8.1.4 多元函数的连续性9

习题8.111

8.2 偏导数12

8.2.1 偏导数的定义与计算12

8.2.2 高阶偏导数15

习题8.218

8.3 全微分19

8.3.1 全微分的定义与计算19

8.3.2 全微分在近似计算中的应用23

习题8.324

8.4 多元复合函数微分法25

8.4.1 多元复合函数的链式法则25

8.4.2 全微分形式不变性31

习题8.432

8.5 隐函数微分法33

8.5.1 一个方程的情形33

8.5.2 方程组的情形36

习题8.541

8.6 微分法在几何上的应用42

8.6.1 空间曲线的切线与法平面42

8.6.2 曲面的切平面与法线44

习题8.647

8.7 方向导数与梯度48

8.7.1 方向导数48

8.7.2 梯度52

习题8.755

8.8 多元函数的极值56

8.8.1 极值存在的必要条件与充分条件56

8.8.2 最大值与最小值问题58

8.8.3 条件极值60

习题8.864

8.9 二元函数的泰勒公式65

8.9.1 二元函数的泰勒公式65

8.9.2 二元函数极值充分条件的证明69

习题8.970

8.10 最小二乘法71

习题8.1074

第9章 重积分75

9.1 二重积分的定义及简单性质75

9.1.1 曲顶柱体体积的计算75

9.1.2 平面薄片质量的问题76

9.1.3 二重积分的定义77

9.1.4 二重积分的简单性质78

习题9.180

9.2 二重积分的计算80

习题9.287

9.3 二重积分的换元法88

9.3.1 一般换元公式88

9.3.2 二重积分在极坐标系下的计算90

习题9.398

9.4 二重积分的应用99

9.4.1 二重积分的微元法99

9.4.2 曲面的面积100

9.4.3 平面薄片的重心102

9.4.4 平面薄片的转动惯量103

9.4.5 平面薄片对质点的引力104

习题9.4105

9.5 三重积分的概念与计算106

9.5.1 三重积分的定义106

9.5.2 利用直角坐标计算三重积分106

习题9.5112

9.6 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分113

9.6.1 三重积分的换元法113

9.6.2 利用柱面坐标计算三重积分115

9.6.2 利用球面坐标计算三重积分117

习题9.6120

第10章 曲线积分与曲面积分122

10.1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）122

10.1.1 曲线形物体的质量122

10.1.2 对弧长的曲线积分的定义123

10.1.3 对弧长的曲线积分的性质124

10.1.4 对弧长的曲线积分的计算124

10.1.5 对弧长的曲线积分的几何应用与物理应用127

习题10.1128

10.2 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）128

10.2.1 变力沿曲线所做的功128

10.2.2 对坐标的曲线积分的定义129

10.2.3 对坐标的曲线积分的性质131

10.2.4 对坐标的曲线积分的计算131

10.2.5 两类曲线积分之间的关系135

习题10.2136

10.3 格林公式137

10.3.1 平面区域的分类与平面区域边界的定向137

10.3.2 格林公式138

10.3.3 格林公式的应用140

10.3.4 曲线积分与路径无关问题142

10.3.5 曲线积分与路径无关的条件143

10.3.6 二元函数的全微分求积145

习题10.3148

10.4 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）149

10.4.1 曲面形物体的质量149

10.4.2 对面积的曲面积分的定义150

10.4.3 对面积的曲面积分的计算150

习题10.4154

10.5 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）155

10.5.1 流量问题155

10.5.2 有向曲面及其在坐标面上的投影156

10.5.3 对坐标的曲面积分的定义157

10.5.4 对坐标的曲面积分的计算158

10.5.5 两类曲面积分之间的关系162

习题10.5165

10.6 高斯公式 通量与散度166

10.6.1 高斯公式166

10.6.2 高斯公式的应用167

10.6.3 高斯公式的物理意义 通量与散度170

习题10.6172

10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度173

10.7.1 斯托克斯公式173

10.7.2 斯托克斯公式的简单应用175

10.7.3 环流量与旋度176

习题10.7178

第11章 级数180

11.1 常数项级数的概念和性质180

11.1.1 常数项级数的定义及收敛性概念180

11.1.2 常数项级数的基本性质183

11.1.3 级数收敛的必要条件184

习题11.1185

11.2 正项级数的敛散性判别186

11.2.1 比较判别法187

11.2.2 积分判别法188

11.2.3 比较判别法的极限形式189

11.2.4 比值判别法190

11.2.5 根值判别法192

习题11.2193

11.3 绝对收敛与条件收敛194

习题11.3196

11.4 幂级数197

11.4.1 函数项级数的一般概念197

11.4.2 幂级数及其收敛性198

11.4.3 幂级数的运算及和函数的性质202

习题11.4205

11.5 函数展开成幂级数205

11.5.1 函数展开成幂级数的条件206

11.5.2 函数展开成幂级数208

11.5.3 函数的幂级数展开式的应用214

习题11.5218

11.6 傅里叶级数218

11.6.1 三角级数 三角函数系的正交性218

11.6.2 函数展开成傅里叶级数220

11.6.3 正弦级数和余弦级数225

11.6.4 周期为2l的周期函数的傅里叶级数228

11.6.5 傅里叶级数的复数形式230

习题11.6233

第12章 常微分方程234

12.1 基本概念234

12.1.1 实例234

12.1.2 基本概念236

习题12.1239

12.2 变量可分离方程与齐次方程239

12.2.1 变量可分离方程240

12.2.2 齐次方程242

习题12.2246

12.3 一阶线性微分方程247

12.3.1 一阶线性微分方程与常数变易法247

12.3.2 伯努利方程251

习题12.3252

12.4 全微分方程253

12.4.1 全微分方程253

12.4.2 一阶微分方程综合例题257

习题12.4258

12.5 可降阶的高阶微分方程259

习题12.5263

12.6 高阶线性微分方程263

习题12.6270

12.7 常系数齐次线性微分方程270

习题12.7274

12.8 常系数非齐次线性微分方程274

习题12.8279

12.9 变系数线性方程280

12.9.1 常数变易法280

12.9.2 欧拉方程283

习题12.9284

12.10 微分方程的幂级数解法284

习题12.10287

12.11 常系数线性微分方程组287

习题12.11289

12.12 常微分方程应用举例290

习题12.12301

12.13 常微分方程初值问题的数值解法302

习题12.13305

习题参考答案与提示306